Qu’est-ce qui compte comme preuve en mathématiques ?

La forme ultime de l’argument, et pour certains, la forme la plus absolue de vérité, est la preuve mathématique. Mais à défaut d’une preuve concluante d’un théorème, les mathématiciens considèrent aussi les preuves qui pourraient 1) réfuter une thèse ou 2) suggérer sa vérité possible ou même des avenues pour prouver qu’elle est vraie. Mais dans un domaine qui n’est pas tout à fait empirique, qu’est-ce qui est considéré comme une preuve ?

Les nombres premiers jumeaux est un exemple où la preuve, autant que l’évidence, guide notre pensée mathématique. Les nombres premiers jumeaux sont des paires de nombres premiers qui diffèrent de 2 – par exemple, 3 et 5, 11 et 13, et 101 et 103 sont tous des paires de nombres premiers jumeaux. La conjecture des nombres premiers jumeaux suppose qu’il n’y a pas de plus grande paire de nombres premiers jumeaux, que les paires continuent d’apparaître alors que nous nous dirigeons vers l’infini sur la ligne numérique.

La conjecture des nombres premiers jumeaux n’est pas le théorème des jumeaux premiers, parce que, bien qu’étant l’un des problèmes les plus célèbres en théorie des nombres, personne n’a été en mesure de le prouver. Pourtant, presque tout le monde croit que c’est vrai, parce qu’il y a beaucoup de preuves qui l’appuient.

Par exemple, lorsque nous recherchons de grands nombres premiers, nous continuons à trouver des paires de nombres premiers jumeaux extrêmement grandes. La plus grande paire de nombres premiers jumeaux connue à l’heure actuelle compte près de 400 000 chiffres chacun. Et des résultats similaires à la conjecture des nombres premiers jumeaux ont été prouvés. En 2013, Yitang Zhang a choqué le monde mathématique en prouvant qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent de 70 millions ou moins. Grâce à un projet public « Polymath » ultérieur, nous savons maintenant qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers qui ne diffèrent pas de plus de 246. Nous n’avons pas encore prouvé qu’il y a infiniment beaucoup de paires de nombres premiers qui diffèrent par 2 – la conjecture des nombres premiers jumeaux – mais 2 est beaucoup plus proche de 246 que de l’infini.

Cela commence à devenir vraiment compliqué une fois que vous quittez le monde arithmétique relativement simple des nombres premiers, avec ses paires clairement empiriques et ses conjectures approximatives, et que vous commencez à travailler avec des modèles informatiques qui génèrent un nombre arbitraire élevé d’énoncés mathématiques, qui peuvent tous être considérés comme des preuves.

Patrick Hanner, l’auteur de cet article, donne ce qui semble être un exemple simple : toutes les lignes sont-elles parallèles ou se croisent-elles ? Il montre ensuite comment les modèles que l’on peut utiliser pour répondre à cette question varient énormément en fonction de leurs hypothèses initiales, en l’occurrence, si l’on considère des lignes dans un plan géométrique unique ou des lignes dans un espace géométrique à n dimensions. Comme toujours en mathématiques, on revient à son ensemble initial d’hypothèses ; on peut  » prouver  » (c.-à-d. fournir de grandes quantités de preuves) un énoncé avec un ensemble de règles, mais cet ensemble de règles n’est pas l’univers.

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