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Les mathématiques impossibles du monde réel

Les mathématiques impossibles du monde réel

Les calculs mathématiques à la limite de l’erreur fournissent des représentations exactes des réponses presque exactes.

L’image que j’ai reçue des mathématiques était celle de la logique inébranlable, de la « vérité vraie », et l’on m’a toujours caractérisée comme un esprit manquant de logique. Et je reconnaissais cette « vérité » lorsque la preuve m’était données, même si j’aimais chercher le cas où la théorie ne fonctionnait pas. Depuis, j’ai renoncé à prétendre avoir un esprit logique mais je me réjouis de lire qu’il y a réellement de l’approximation dans les sciences.
Nautil.us a rassemblé ces « ratés », ces « presques-vérités » :

Avec du papier rigide et du ruban adhésif transparent, Craig Kaplan assemble une belle forme ronde qui ressemble à une création de Buckminster Fuller ou à un ballon de football d’un nouveau genre. Il se compose de quatre dodécagones réguliers (polygones à 12 côtés avec tous les mêmes angles et côtés) et de 12 décagones (à 10 côtés), avec 28 petits espaces en forme de triangles équilatéraux. Il y a juste un problème. Ce chiffre devrait être impossible. Cet ensemble de polygones ne se rencontrera pas aux sommets. La forme ne peut pas se refermer.

Le modèle de Kaplan ne fonctionne que grâce à la marge de manœuvre que vous obtenez lorsque vous l’assemblez avec du papier. Les côtés peuvent se déformer un peu, presque imperceptiblement. « Le facteur de fudge qui découle du simple fait de travailler dans le monde réel avec du papier signifie que ce qui devrait être impossible ne l’est pas vraiment « , dit Kaplan, informaticien à l’Université de Waterloo, au Canada.

Cette forme, que le mathématicien Craig Kaplan a construite en utilisant des polygones de papier, ne peut se fermer qu’en raison de la déformation subtile du papier.

C’est un nouvel exemple d’une classe inattendue d’objets mathématiques que le mathématicien américain Norman Johnson a découvert dans les années 1960. Johnson travaillait à l’achèvement d’un projet commencé plus de 2 000 ans plus tôt par Platon : cataloguer la perfection géométrique. Parmi l’infinie variété de formes tridimensionnelles, cinq seulement peuvent être construites à partir de polygones réguliers identiques : le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre. Si vous mélangez des polygones, vous pouvez former 13 autres formes à partir de polygones réguliers qui se rencontrent de la même façon à chaque sommet – les solides d’Archimède – ainsi que des prismes (deux polygones identiques reliés par carrés) et des « anti-prismes » (deux polygones identiques reliés par triangles équilatéraux).

En 1966, Johnson, alors à l’Université d’État du Michigan, a trouvé 92 autres solides composés uniquement de polygones réguliers, maintenant appelés les solides de Johnson. Et avec cela, il a épuisé toutes les possibilités, comme le mathématicien russe Viktor Zalgaller, alors à l’Université d’Etat de Leningrad, le prouve quelques années plus tard. Il est impossible de former d’autres formes fermées à partir de polygones réguliers.

Pourtant, en complétant l’inventaire des polyèdres, Johnson a remarqué quelque chose d’étrange. Il découvre ses formes en fabriquant des maquettes à partir de cartons et d’élastiques. Comme il y a relativement peu de polyèdres possibles, il s’attendait à ce que les nouveaux se révèlent rapidement. Une fois qu’il a commencé à mettre les côtés en place, la forme devrait s’emboîter par nécessité. Mais cela ne s’est pas produit. « Il n’était pas toujours évident, lorsque vous assembliez un tas de polygones, que ce qui était assemblé était une figure légitime « , se souvient Johnson.

Ils ont l’air tentants et ouverts à la solution, mais s’avèrent en fin de compte impossibles.

Un modèle pourrait sembler s’emboîter, mais  » si vous faisiez quelques calculs, vous pourriez voir qu’il n’a pas tout à fait tenu debout « , dit-il. En y regardant de plus près, ce qui semblait être un carré n’était pas tout à fait un carré, ou l’un des visages n’était pas tout à fait plat. Si vous rognez les visages, ils s’emboîteraient exactement, mais alors ils ne seraient plus exactement réguliers.

Ayant l’intention d’énumérer les solides parfaits, Johnson n’a pas accordé beaucoup d’attention à ces quasi-accidents. « Je les ai en quelque sorte mis de côté et me suis concentré sur ceux qui étaient valables, dit-il. Mais non seulement cette quasi-perfection aiguisée attire l’intérêt de Kaplan et d’autres passionnés de mathématiques aujourd’hui, mais elle fait partie d’une grande classe de mathématiques quasi-inexistantes.

Il n’y a pas de définition précise d’un accident évité de justesse. C’est impossible. Une règle dure et rapide n’a pas de sens dans le monde réel et bancal. Pour l’instant, Kaplan s’appuie sur une règle empirique lorsqu’il cherche de nouveaux solides de Johnson presque manquants :  » l’erreur mathématique réelle inhérente au solide est comparable à l’erreur pratique qui vient du travail avec des matériaux du monde réel et vos mains imparfaites « . En d’autres termes, si vous réussissez à construire un polyèdre impossible – si c’est si près d’être possible que vous pouvez le truquer – alors ce polyèdre est presque raté. Dans d’autres parties des mathématiques, un quasi-accident est quelque chose qui est assez proche pour vous surprendre ou vous tromper, une blague ou une farce mathématique.

Certains quasi-accidents mathématiques sont, comme les solides de Johnson quasi-accidents, à peine plus que des curiosités, tandis que d’autres ont une signification plus profonde pour les mathématiques et la physique.

Les anciens problèmes de quadrature du cercle et de doublement du cube tombent tous les deux sous le parapluie des quasi-accidents. Ils ont l’air alléchants et ouverts à la solution, mais s’avèrent finalement impossibles, comme une figure géométrique qui semble devoir se refermer, mais ne peut le faire. Certaines des constructions de Leonard de Vinci et d’Albrecht Dürer à la boussole et à l’arête droite ont brouillé les angles, produisant des pentagones presque réguliers plutôt que la réalité.

Lorsque la forme du dessus est découpée en quatre morceaux et réarrangée, un espace apparaît. C’est le résultat d’une distorsion imperceptible dans les deux triangles.

Et puis il y a le puzzle des carrés manquants. Dans celui-ci (ci-dessus), un triangle droit est découpé en quatre morceaux. Lorsque les pièces sont réarrangées, un espace apparaît. D’où est-ce que ça vient ? C’est un quasi-accident. Ni l’un ni l’autre « triangle » n’est vraiment un triangle. L’hypoténuse n’est pas une ligne droite, mais a une petite courbe où la pente passe de 0,4 dans le triangle bleu à 0,375 dans le triangle rouge. Le défaut est presque imperceptible, c’est pourquoi l’illusion est si frappante.

Une coïncidence numérique est peut-être le quasi-accident le plus utile dans la vie quotidienne : 27/12 est presque égal aux 3/2. C’est la raison pour laquelle les pianos ont 12 touches d’une octave et la base du système à tonalité égale dans la musique occidentale. Il trouve un compromis entre les deux intervalles musicaux les plus importants : une octave (rapport de fréquence de 2:1) et une quinte (rapport de 3:2). Il est numériquement impossible de subdiviser une octave de manière à ce que toutes les quintes soient parfaites. Mais vous pouvez vous approcher de très près en divisant l’octave en 12 demi-tons égaux, dont sept vous donnent un rapport de fréquence de 1,498. C’est suffisant pour la plupart des gens.

Parfois, des quasi-accidents surviennent dans le domaine des mathématiques, presque comme si les mathématiques jouaient un tour sur elles-mêmes. Dans l’épisode « Treehouse of Horror VI » de The Simpsons, les spectateurs mathématiquement inclinés ont peut-être remarqué quelque chose de surprenant : l’équation 178212 + 184112 = 192212. Il a semblé un moment que les scénaristes avaient réfuté le dernier théorème de Fermat, qui dit qu’une équation de la forme xn + yn = zn n’a pas de solution entière lorsque n est supérieur à 2. Si vous tapez ces nombres dans une calculatrice de poche, l’équation semble valide. Mais si vous faites le calcul avec plus de précision que la plupart des calculatrices manuelles peuvent gérer, vous trouverez que la douzième racine du côté gauche de l’équation est 1921.99999999955867…, pas 1922, et Fermat peut reposer en paix. Il s’agit d’un manque à gagner frappant de moins d’un dixième de millionième.

Mais les quasi-accidents ne sont pas que des blagues. « Ceux qui sont les plus convaincants pour moi sont ceux où ils sont potentiellement un indice qu’il y a une grande histoire « , dit John Baez, mathématicien de l’Université de Californie à Riverside. C’est le cas d’un nombre parfois appelé constante de Ramanujan. Ce nombre est eπ √163, soit environ 262 537 412 612 640 740 768 743 743,999999999999999925, ce qui est très proche d’un nombre entier. A priori, il n’y a aucune raison de s’attendre à ce que ces trois nombres irrationnels – e, π et √163 – se combinent pour former un nombre rationnel, encore moins un entier parfait. Il y a une raison pour qu’ils soient si proches. « Ce n’est pas une coïncidence que nous ne comprenons pas, dit Baez. « C’est un indice pour un sujet profond de mathématiques. » L’explication précise est compliquée, mais dépend du fait que 163 est ce qu’on appelle un nombre de Heegner. Les exponentiels liés à ces nombres sont presque entiers.

Ou prenez la relation mathématique fantaisiste connue sous le nom de « Monstrous Moonshine ». L’histoire raconte qu’en 1978, le mathématicien John McKay a fait une observation à la fois complètement triviale et étrangement spécifique : 196,884 = 196,883 + 1. Le premier nombre, 196.884, était apparu comme un coefficient dans un polynôme important appelé le j-invariant, et 196.883 est apparu en relation avec un énorme objet mathématique appelé le groupe Monster. Beaucoup de gens auraient probablement haussé les épaules et avancé, mais les observations ont intrigué certains mathématiciens, qui ont décidé d’examiner de plus près. Ils ont découvert des liens entre deux sujets apparemment sans rapport : la théorie des nombres et les symétries du groupe Monster. Ces liens peuvent même avoir une signification plus large, encore inexplorée, pour d’autres sujets. Le physicien Edward Witten a soutenu que le groupe de Monster pourrait être lié à la gravité quantique et à la structure profonde de l’espace-temps.

Les quasi-accidents mathématiques montrent la puissance et l’espièglerie de l’approche humaine en mathématiques. Johnson, Kaplan et d’autres ont fait leurs découvertes par essais et erreurs en explorant, comme des biologistes qui se promènent dans la forêt tropicale à la recherche de nouvelles espèces. Mais avec les mathématiques, il peut être plus facile de faire des recherches systématiques. Par exemple, Jim McNeill, un amateur de mathématiques qui collectionne les quasi-accidents sur son site Web, et Robert Webb, un programmeur informatique, ont développé un logiciel pour créer et étudier les polyèdres.

Les quasi-accidents vivent à la frontière ténébreuse entre les mathématiques idéalistes et inébranlables et nos sens pratiques et indulgents. Ils inversent la logique de l’approximation. Normalement, le monde réel est une ombre imparfaite du royaume platonicien. La perfection des mathématiques sous-jacentes est perdue dans des conditions réalisables. Mais en cas de quasi-accidents, le monde réel est l’ombre parfaite d’un royaume imparfait. Une approximation est « une estimation erronée d’une bonne réponse », dit Kaplan, tandis qu' »une quasi-collision est une représentation exacte d’une réponse presque exacte ».

De cette façon, les quasi-accidents transforment la relation du mathématicien et du physicien mathématicien avec le monde naturel. « Je suis reconnaissant pour les imperfections du monde réel parce qu’il me permet d’atteindre une sorte de quasi-perfection avec des objets dont je sais qu’ils ne sont pas intrinsèquement parfaits, » dit Kaplan. « Cela me permet de surmonter les limites des mathématiques à cause de la belle fragilité de la réalité. »

Evelyn Lamb est une mathématicienne spécialisée en analyse complexe. Elle écrit beaucoup sur les mathématiques et les sciences. Elle blogue pour l’American Mathematical Society et pour son propre blog, « Roots of Unity. » @evelynjlamb

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