Quelle est la zone entre les cercles ?

Quelle est la zone ombrée entre les deux cercles tangents ?

 

Ceci est adapté d’un problème pour les jeunes de 14 à 16 ans. Regardez la vidéo pour une solution.

Soit r le rayon du petit cercle. L’addition du diamètre du petit cercle, 2r, à 18 donne le diamètre du grand cercle comme 2r + 18. Le rayon du grand cercle sera donc la moitié, soit r + 9.

C’est tellement LOGIQUE !!!!!

Par conséquent, la distance entre les centres des deux cercles est égale à 9.

De plus, la distance verticale entre le centre du grand cercle et le petit cercle est le rayon du grand cercle moins 10, qui est r + 9 – 10 = r – 1.

Dessinez maintenant un autre rayon du petit cercle pour former un triangle droit avec les accolades 9, r – 1 et une hypoténuse de r.

Dans un triangle droit, nous avons :

r² = 9² + (r – 1)²

Pour qu’on puisse résoudre :

r² = 9² + (r – 1)²
0 = 9² + 2r + 1
r = 41

Nous trouvons alors la zone ombrée comme la zone du grand cercle moins la zone du petit cercle. En rappelant que le rayon du grand cercle est r + 9, on obtient l’équation :

Zone ombragée
=π((r + 9)² – r²)
=π(50²– 41²)
=819π

Résoudre le problème réel

Alors, qu’en est-il du problème initial ? Si nous utilisons la même méthode que ci-dessus, nous obtenons la figure suivante.

En partant du triangle droit, nous obtenons l’équation et nous pouvons la résoudre :

r² = 52 + (r – 13)²
0 = 5² + 26r + 13²
r = 97/13

Avant d’aller plus loin, réfléchissons une minute. Un bord du triangle droit est r – 13. Substituer à la valeur de r donne :

97/13 – 13 = -72/13 < 0

Cela devrait faire l’effet d’un drapeau rouge ! Il est absurde dans ce problème d’avoir une longueur négative.

Puisque toutes les étapes étaient valides, nous pouvons conclure qu’il y a une erreur dans les dimensions d’origine.

La bonne réponse est : les dimensions du problème d’origine ne sont pas possibles !

Je pense qu’il est bon de temps en temps de rencontrer un problème pour éviter d’appliquer aveuglément des formules et nous rappeler de réfléchir !

Plus de problèmes de maths ici.

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