Une nouvelle façon de faciliter les équations quadratiques

Beaucoup d’anciens élèves d’algèbre ont des souvenirs douloureux de la difficulté à mémoriser la formule quadratique. (rappel : a2x2 + a1x + a0 = 0 est appelée une équation quadratique). Une nouvelle façon de la calculer, négligée depuis 4000 ans, est si simple qu’elle en élimine le besoin.

Les Babyloniens de l’Antiquité étaient remarquables. Parmi de nombreuses réalisations extraordinaires, ils ont trouvé une solution mathématique maintenant bien connue à un défi désagréable : payer des impôts.

Le problème particulier pour le babylonien ordinaire était ceci : Étant donné qu’une facture de taxes doit être payée pour les cultures, de combien devrais-je augmenter la taille de mon champ pour la payer ?

Ce problème peut être écrit sous la forme d’une équation quadratique de la forme Ax2+Bx+C=0, et il est résolu avec cette formule :

Aujourd’hui, plus de 4 000 ans plus tard, des millions de personnes ont la formule quadratique gravée dans leur esprit grâce à la façon dont les mathématiques sont enseignées à travers la planète.

Mais beaucoup moins de gens peuvent en tirer cette expression. Cela est également dû à la façon dont les mathématiques sont enseignées – la résolution habituelle repose sur une astuce mathématique, appelée  » compléter le carré « , qui est loin d’être intuitive. En effet, après les Babyloniens, il a fallu des siècles aux mathématiciens pour trouver cette preuve.

Avant et depuis, les mathématiciens ont trouvé un large éventail d’autres façons d’obtenir la formule. Mais tous sont également délicats et non intuitifs.

Il est donc facile d’imaginer que les mathématiciens ont dû retourner le problème dans tous les sens. Il ne peut y avoir de meilleur moyen de trouver la solution à la formule quadratique.

Po-Shen Loh, mathématicien à l’Université Carnegie Mellon de Pittsburgh, a trouvé un moyen plus simple, qui semble être passé inaperçu ces 4 000 ans.

L’approche de Loh ne repose pas sur l’achèvement du carré ou d’autres astuces mathématiques difficiles. En effet, il est assez simple de travailler comme une méthode générale en soi, ce qui signifie que les élèves n’ont pas besoin de se souvenir de la formule du tout. « La dérivation a le potentiel de démystifier la formule quadratique pour les étudiants du monde entier « , dit-il.

La nouvelle approche est simple. Elle part de l’hypothèse qu’une équation quadratique a deux solutions, ou racines. Si on les appelle R et S, on peut écrire :

Notez que le côté gauche est égal à 0 lorsque x=R et lorsque x=S. Ce sont les racines.

En multipliant le côté droit, on obtient :

Ceci est vrai lorsque -B=R+S et lorsque C=RS.

Maintenant, voici le passage le plus intelligent. Loh souligne que les deux racines, R et S, totalisent -B lorsque leur moyenne est -B/2.

« Nous cherchons donc deux nombres de la forme -B/2±z, où z est une quantité unique inconnue, » dit-il. Nous pouvons alors multiplier ces nombres ensemble pour obtenir une expression pour C. Donc

Puis un simple réarrangement donne

Ce qui signifie que la solution pour une équation quadratique est :

Voilà ! C’est la formule quadratique.

La version plus générale peut être obtenue en divisant l’équation Ax2+Bx+C=0 par A pour obtenir x2+B/Ax+C/A=0 et en répétant ensuite le processus ci-dessus.

C’est une amélioration très significative par rapport à la méthode précédente, et Loh montre pourquoi avec un exemple simple.

Trouvez les racines de la quadratique suivant e: x– 2x+4=0

La méthode traditionnelle consisterait à calculer des valeurs pour A, B et C et à les intégrer dans la formule quadratique. Mais l’approche de Loh résout le problème intuitivement. La première étape est de penser que les deux racines de l’équation doivent être égales à -B/2±z = 1±z

Et parce que leur produit doit être C=4, on peut écrire :

Donc les racines sont

Tenter le même problème en utilisant la méthode traditionnelle est beaucoup plus délicat. La nouvelle approche est beaucoup plus simple et intuitive, notamment parce qu’elle ne nécessite pas la mémorisation de la formule.

Il est intéressant de se demander pourquoi personne n’est tombé sur cette méthode auparavant. Loh a cherché dans l’histoire des mathématiques une approche qui ressemble à la sienne, sans succès. Il a examiné les méthodes mises au point par les anciens Babyloniens, les Chinois, les Grecs, les Indiens et les Arabes ainsi que les mathématiciens modernes de la Renaissance à nos jours. Aucun d’entre eux ne semble avoir fait ce pas, même si l’algèbre est simple et connue depuis des siècles.

Alors pourquoi maintenant ? Loh pense qu’elle est liée à la façon dont l’approche conventionnelle prouve que les équations quadratiques ont deux racines. « La raison en est peut-être qu’il est mathématiquement non négligeable de faire l’implication inverse : cela a toujours deux racines, et que ces racines ont la somme -B et le produit C, » dit-il.

Loh, qui est un éducateur et vulgarisateur en mathématiques, a découvert son approche en analysant les programmes de mathématiques pour les écoliers, dans le but d’élaborer de nouvelles explications. La dérivation a émergé de ce processus.

La question qui se pose maintenant est de savoir à quel point et à quelle vitesse il va se propager. Quoi qu’il en soit, les calculateurs d’impôt babyloniens auraient sûrement été impressionnés.

Réf : arxiv.org/abs/1910.06709 : Une preuve simple de la formule quadratique

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