Comment peindre une pièce en utilisant les mathématiques

 

C’est plus efficace. Et beaucoup plus cool.

Lorsque votre projet du jour consiste à peindre une pièce, vous ne vous servez probablement pas d’une calculatrice. Et si des calculs sont faits, c’est probablement ce que vous connaissez depuis l’école primaire : Estimez la surface du mur à peindre, divisez-la par la surface que chaque peinture peut couvrir, et arrondissez. Ce genre de choses.

Mais si vous êtes un mathématicien ? Pouvez-vous utiliser n’importe quel calcul avancé pour finir le travail plus rapidement ou plus efficacement ? C’est ce que nous allons voir.

D’abord, considérez la vitesse. En abordant cela mathématiquement, une constante du problème est l’épaisseur de peinture appropriée. Vous ne pouvez pas changer le nombre de couches de peinture nécessaires, et vous devez appliquer la peinture à une épaisseur suffisante sur chaque pouce carré du mur. Il n’est pas possible de peindre une couche rapide et tachetée et d’appeler cela une méthode plus rapide.

Avec les paramètres établis, vous ne pouvez pas vraiment améliorer la vitesse. Contrairement aux problèmes d’optimisation similaires avec l’arrosage ou la tonte du gazon, il n’y a pas de problème de chevauchement lorsque vous peignez un mur. Vous pouvez soulever le rouleau de peinture et le remettre en place n’importe où, n’importe quand. Essayez de faire cela avec une tondeuse à gazon.

Donc, tant que vous appliquez constamment la peinture à la bonne épaisseur, la quantité de peinture que vous utilisez et le temps qu’il vous faut devraient tous deux être basés simplement sur la surface que vous devez peindre et la vitesse à laquelle vous travaillez. Les cours de mathématiques n’y changeront rien.

Mais cela ne veut pas dire qu’un peu de connaissances complexes en mathématiques ne peut pas vous aider à perfectionner vos compétences en peinture. Prenons le cas de Hilbert Curves.

David Hilbert était un mathématicien allemand qui a contribué massivement à la science au début du 20e siècle. Il a posé une collection de certains des problèmes mathématiques les plus difficiles de l’époque, une liste connue sous le nom de  » problèmes de Hilbert « , dont plusieurs demeurent non résolus à ce jour.

Le nom de Hilbert apparaît partout dans les manuels de mathématiques modernes, et les courbes de Hilbert, qu’il a décrites en 1891, figurent parmi ses nombreuses découvertes. Il s’agit d’une série d’exemples de questions connues des geeks, des artistes et des ingénieurs. Par exemple, jetez un coup d’œil à ces spécifications d’impression 3D pour la courbe de Hilbert.

En gros, les courbes de Hilbert sont une séquence spécifique de chemins qui zigzaguent dans une région carrée, comme illustré ci-dessus. La première courbe de Hilbert, représentée en vert sur l’image, est appelée H1 et ressemble à une simple forme en U. La deuxième, en bleu ci-dessus, est appelée H2, la troisième H3, et ainsi de suite.

Mais attendez, ces lignes n’ont pas l’air courbées ! Eh bien, gardez à l’esprit que le terme courbe en mathématiques est plus abstrait, et peut inclure des segments de lignes droites et des angles droits. La propriété clé des courbes en maths : elles sont ininterrompues. Elles sont un gribouillis continu du point de départ au point d’arrivée.

Lorsque vous regardez les premières courbes de Hilbert, vous pouvez remarquer quelques motifs. Il y a beaucoup de choses qui se passent avec ces choses.

Tout d’abord, repérez-vous les quatre copies de H1 dans H2 ? Les deux copies inférieures ont chacune été tournées de 90 degrés, et des segments ont été ajoutés pour que tout soit relié.

Maintenant, remarquez la même relation entre les deux suivants : Il y a quatre copies de H2 dans H3. Ensuite, H3 apparaît quatre fois dans H4, et ainsi de suite.

Dans un sens, c’est ainsi que les courbes de Hilbert sont définies. La prochaine Courbe de Hilbert Hn est faite de quatre copies de la précédente Hn-1, chacune réduite à la taille d’un quart, avec trois petits segments ajoutés pour relier le tout.

Dit d’une autre manière : Prenez n’importe quel Hn et zoomez sur un quart de cette image – vous regardez maintenant le Hn-1, éventuellement tourné. Il s’agit d’une manipulation du principe mathématique connu sous le nom d’auto-similarité, lorsque les objets mathématiques sont égaux, ou équivalents d’une certaine manière, à des parties d’eux-mêmes. Les choses auto-similaires les plus connues sont les fractales, et les courbes de Hilbert sont comme des fractales.

Le calcul derrière les fractales devient très compliqué ; en gros, ce sont des formes qui se contiennent elles-mêmes. Quand vous zoomez sur une fractale, vous voyez plus de fractales, peu importe la distance sur laquelle vous zoomez. Pour cette raison, il est populaire d’avoir des ordinateurs qui colorient et zooment sur certaines fractales. Divers logiciels existent pour faire cela.

Techniquement, ces blocs de construction Hn ne sont pas des fractales, puisqu’ils échouent au test  » peu importe la distance de zoom « . Mais leur limite mathématique – la courbe de Hilbert – est une fractale. Malheureusement, il est impossible de peindre la courbe de Hilbert, car c’est un objet abstrait et infini. Les subtilités à ce stade deviennent obscures, mais si vous êtes intéressé par les mathématiques avancées au-delà de cette étape, profitez de cette excellente vidéo de mathématiques YouTuber 3Blue1Brown :

Les courbes de Hilbert apparaissent également en informatique, et il est facile de comprendre pourquoi. Tout d’abord, remarquez que H1 serpente à travers les centres des quatre carrés d’une grille de 2×2. Ensuite, H2 touche chacun des 16 carrés d’une grille 4×4. Enfin, dit sous une forme générale : La courbe Hn serpente à travers les 4n carrés d’une grille 2nx2n. Quand n est 4 ou 5, ce 4n devient 256 ou 1024, un indice énorme vers les applications informatiques. La vidéo de 3Blue1Brown en explore quelques-unes.

Avec le temps, certains problèmes ont été compris comme étant bien résolus par Hilbert Curves. Toute situation qui implique la représentation d’un tableau linéaire sur un espace 2D (ou plus) s’y adapte naturellement. C’est le cas de ce fameux dessin animé xkcd, qui quadrille les 256 sous-réseaux IPv4 – pensez aux codes de zones pour Internet :

En traçant la courbe de Hilbert H4, les nombres consécutifs se connectent toujours, c’est donc sans doute la façon la plus logique d’organiser 256 nombres dans une grille 16×16.

Dans l’ensemble, si vous peignez votre mur le long d’une courbe de Hilbert, il se passe quelques trucs sympas. Comme il n’y a pas de déconnexions, vous peindrez le long d’un chemin continu du début à la fin. Cela réduit potentiellement vos mouvements corporels, vous maintenant dans une région générale à la fois. Et cela prend le même temps si vous peignez à un rythme constant.

Mais ne restez pas bloqué sur le chemin à suivre.

Via PopularMechanics

 

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