L’esprit d’un mathématicien

Terence Tao était un prodige extraordinaire – et il l’est toujours.

Le livre de Terence Tao, Résoudre des problèmes mathématiques : A Personal Perspective, est un volume attrayant et mince, plein d’idées sur la façon d’aborder les problèmes de la théorie des nombres, de l’algèbre, de la géométrie euclidienne et de la géométrie analytique.

Il a été commandé par l’Université Deakin, dans l’État de Victoria, en Australie, près de sa ville natale d’Adélaïde, dans l’espoir qu’il puisse servir à former des professeurs de mathématiques dans les écoles secondaires. Tao a commencé par exposer quelques stratégies sensées pour la résolution de problèmes, dont celles-ci : Comprendre le problème, comprendre les données, comprendre l’objectif, choisir une bonne notation et écrire tout ce que vous savez. Il espérait aussi quelque chose de moins par cœur. « Une solution « , a proposé Tao,  » devrait être relativement courte, compréhensible et, espérons-le, avoir une touche d’élégance. Elle devrait être amusante à découvrir. »

Il est à noter que Tao a écrit Solving Mathematical Problems en 1990, quand il avait 15 ans.

Maintenant considéré comme l’un des plus grands mathématiciens du monde, Tao, professeur à l’UCLA, a été précoce toute sa vie. Il a obtenu une note de 760 au SAT à l’âge de 9 ans, a obtenu son doctorat à 20 ans et a été titularisé à 24 ans. On l’a appelé « le Mozart des maths ».

En 2006, à l’âge de 31 ans, Tao a remporté la médaille Fields, qui a été décrite comme l’équivalent du prix Nobel en mathématiques et qui n’est décernée que tous les quatre ans aux mathématiciens de moins de 40 ans. L’Union mathématique internationale, qui décerne la médaille, a fait l’éloge de Tao pour ses percées dans les domaines des équations aux dérivées partielles, de la combinatoire, de l’analyse harmonique et de la théorie des nombres additifs.

Les prix et les distinctions ne font que se multiplier : la bourse MacArthur (souvent appelée officieusement la bourse du  » génie « ), le prix Alan T. Waterman de la National Science Foundation, la médaille royale de la Royal Society, le prix Crafoord de l’Académie royale des sciences de Suède et le prix de la percée en mathématiques de 3 millions de dollars. Aujourd’hui âgé de 44 ans seulement, Tao a publié 17 livres et plus de 300 articles de recherche.

« Terry a écrit 56 articles en deux ans et ils sont tous de grande qualité « , s’est émerveillé son collègue de l’UCLA John Garnett lorsque Tao a remporté la médaille Fields. « Dans une bonne année, j’écris trois articles. »

Assis dans son bureau par une chaude après-midi d’été, vêtu de kakis et d’un polo bleu royal, Tao est amical et sans prétention lorsqu’il discute de son travail. Beaucoup des problèmes qu’il a abordés concernent la tension entre l’ordre et le hasard. C’est une tension qui apparaît tout autour de lui. L’esprit de Tao est ordonné, mais son bureau encombré semble aléatoire. Son cheminement de carrière a été ordonné, mais l’apparition du génie mathématique dans la société semble aléatoire.

Si réconcilier cette tension a été le travail d’une vie, le livre de Tao peut fournir un cadre utile pour faire la tentative. Comprenez le problème, comprenez les données, et écrivez tout ce que vous savez.

IMAGINEZ QUE VOUS ÊTES TRAPPÉ dans une pièce avec un lion affamé. Vous et le lion êtes représentés par des points dans l’espace. Supposez que le lion puisse courir plus vite que vous. Supposez que vous puissiez courir plus vite que le lion. Supposons que vous et le lion puissiez courir exactement à la même vitesse. Comment éviter d’être mangé ?

Le professeur Charles Fefferman, lui-même récipiendaire de la médaille Fields, se rappelle avoir demandé à Terry Tao, 9 ans, ces hypothèses, qui font partie d’un domaine des mathématiques et de l’informatique connu sous le nom de jeux de poursuite, en 1984. Le père de Tao, Billy, avait emmené Terry à travers le monde pour rencontrer certains des plus grands mathématiciens, afin de déterminer si son fils avait du talent. À Princeton, Fefferman et Enrico Bombieri, à l’Institute for Advanced Study, étaient les personnes que Billy Tao voulait rencontrer.

La pièce est restée silencieuse pendant un moment, se souvient Fefferman, lorsque Bombieri s’est soudainement levé, a jeté ses bras en l’air, a rugi comme un lion et a poursuivi Tao de façon ludique autour de la pièce pour briser la tension. « Pour moi, » dit Fefferman, « c’était le point culminant de l’interview. » Malheureusement pour la postérité, il ne peut pas se rappeler les détails mais dit que Tao a répondu à ses questions intelligemment.

 » J’ai été impressionné qu’un enfant de 9 ans puisse trouver des idées pour un problème de mathématiques qui n’était pas une chose conventionnelle qu’il avait apprise dans n’importe quelle classe « , dit Fefferman.

Les parents de Tao – son père était pédiatre et sa mère professeur de mathématiques au lycée – ne l’avaient pas poussé, mais ils avaient de bonnes raisons de penser que leur fils, l’aîné de trois garçons, pouvait être spécial. Il avait appris tout seul à lire et à faire des calculs de base alors qu’il n’avait que 2 ans. 3 ans, il se souvient d’avoir regardé sa grand-mère laver les vitres et d’avoir souhaité pouvoir étaler le détergent sous forme de chiffres.


Photo : Reed Hutchinson/UCLA

Aucune école maternelle ne pouvait accueillir un enfant aussi avancé, alors Tao est resté à la maison jusqu’à l’âge de 5 ans, ses parents lui donnant un programme d’études spécialement conçu. À 6 ans, il avait appris le langage informatique de base et suivait bientôt des cours de mathématiques de niveau secondaire. À 9 ans, il assistait à des cours à l’Université Flinders d’Adélaïde et travaillait avec des tuteurs privés. Ses parents l’ont empêché de s’inscrire à Flinders jusqu’à l’âge de 14 ans parce qu’il était beaucoup plus jeune que tous les autres étudiants du campus. Tao y a obtenu son baccalauréat en deux ans et une maîtrise en un an.

Fefferman et Bombieri n’étaient pas les seuls mathématiciens de renommée mondiale que Tao a rencontrés à un jeune âge. À 10 ans, il a rencontré Paul Erdős, l’un des mathématiciens les plus influents du 20e siècle, alors que Erdős était en visite à Adélaïde. Célèbre pour sa distance avec les adultes, Erdős aimait parler aux enfants, qu’il appelait « epsilons » (dans les formules mathématiques, la lettre grecque epsilon est utilisée pour représenter une petite quantité).

 » Pour moi, c’était juste un autre vieil homme gentil. Je ne savais pas à quel point il était célèbre « , dit Tao.  » Une chose dont je me souviens, c’est qu’il me parlait comme un adulte, comme un égal. Il ne m’a pas parlé de façon négative. » Des années plus tard, Erdős a écrit une des lettres de recommandation de Tao à Princeton, prédisant, « Je suis sûr qu’il deviendra un mathématicien de premier ordre et peut-être même un très grand. »

Lors de son premier jour d’études supérieures à Princeton, à l’automne 1992, Tao se tenait dans le hall de Fine Hall et regardait fixement l’annuaire des professeurs du département de mathématiques. « J’ai reconnu la moitié des noms », se souvient-il. « C’était assez intimidant. » Il avait choisi de travailler avec Elias Stein, un géant dans le domaine de l’analyse harmonique, l’étude des propriétés et des caractéristiques des ondes sinusoïdales. Tao conserve toujours le célèbre manuel de Stein, l’Analyse Harmonique : Méthodes à variables réelles, orthogonalité et intégrales oscillatoires, sur son bureau à l’UCLA.

L’école supérieure était la première fois que Tao s’éloignait de la maison, et la transition s’est avérée difficile. Son père est resté avec lui pendant la première semaine de cours pour apprendre à son fils comment accomplir des tâches aussi élémentaires que faire la lessive et ouvrir un compte bancaire. Dans ses temps libres, Tao s’est joint au club de cinéma et a joué au baby-foot, au bridge en ligne et à des jeux d’ordinateur.

Tao admet qu’il a fait ses preuves sur le plan scolaire. Parce que tout était toujours venu si facilement, il n’avait pas développé de bonnes compétences d’étude. Quand est venu le temps de préparer ses examens généraux, Tao a passé seulement quelques semaines à feuilleter ses notes sommaires, tandis que d’autres se sont préparés pendant des mois. Pendant l’examen oral, avec Stein et deux autres professeurs, Tao a à peine couiné. « J’ai eu beaucoup de chance. J’étais très proche « , dit-il. Par la suite, Stein a noté avec diplomatie combien la performance de Tao avait été décevante.

Bien que Tao ait décidé de travailler plus fort, les niveaux de maths plus élevés qui ont été raréfiés se sont avérés difficiles, même pour lui. Pendant qu’il travaillait sur sa thèse, il allait voir Stein pendant les heures de bureau, faisant la queue avec ses autres conseillers. Il imite joyeusement Stein en sortant la tête par la porte et en appelant  » Neeext  » avec son accent nasal. Une fois à l’intérieur, Tao lui présentait son problème et lui indiquait peut-être les mesures qu’il avait prises. Stein hochait la tête, se levait, fouillait dans son armoire à dossiers et tirait un article d’une des revues mathématiques.

« C’était tout simplement frappant », s’émerveille Tao, en regardant en arrière. « Je passais des heures et des heures à travailler sur quelque chose, pas très dirigé, et il écoutait pendant cinq minutes et juste par expérience il connaissait une chose bien plus productive à faire. »

Bien que ERDŐS soit mort en 1996, son travail a eu une grande influence sur la carrière de Tao, en particulier en suscitant son intérêt pour les nombres premiers, ces nombres tels que 2, 3, 5, 7, et 11 qui ne sont divisibles que par eux-mêmes et 1. Bien qu’Euclide ait prouvé en 300 avant J.-C. qu’il existe un nombre infini de nombres premiers, ils semblent se produire au hasard. Les mathématiciens ont essayé de deviner s’il y a une structure sous-jacente.

Un modèle détectable est la présence de nombres premiers jumeaux – des paires de nombres premiers, tels que 5 et 7 ou 11 et 13 ou 29 et 31, qui se produisent à deux nombres seulement l’un de l’autre. Euclide croyait qu’il y avait un nombre infini de ces nombres premiers jumeaux aussi, mais il ne pouvait pas le prouver. Au cours des quelque 2 300 années qui ont suivi, personne d’autre ne l’a fait non plus. Tao a passé une grande partie de sa carrière à essayer.

En 2004, Tao et Ben Green, de l’Université d’Oxford, ont décidé d’aborder la question en déterminant s’il y a un nombre infini de nombres premiers également séparés par un nombre quelconque, et non pas seulement 2. Ils ont analysé un groupe de quatre preuves du professeur Rutgers Endre Szemerédi. Mais ces preuves ne concernent pas les nombres premiers, alors ils ont pris le théorème de Szemerédi et l’ont  » osé  » (selon les mots de Tao) jusqu’à ce qu’il le fasse.  » Chaque fois que Ben et moi étions coincés, il y avait toujours une idée d’une des quatre preuves que nous pouvions d’une manière ou d’une autre enfoncer le clou dans notre argument « , a fait remarquer Tao à l’époque.

Une autre caractéristique des nombres premiers est que, à mesure que les nombres deviennent plus grands, les nombres premiers se produisent généralement moins fréquemment – mais pas toujours. Par exemple, 360 287 et 360 289 sont des nombres premiers jumeaux, mais les nombres premiers de chaque côté sont beaucoup plus éloignés les uns des autres.

En 2013, Yitang Zhang, un mathématicien de l’Université du New Hampshire, a prouvé qu’il existe un nombre infini de nombres premiers qui sont séparés par, au plus, 70 millions. Cela a déclenché un effort mondial pour prouver qu’il y a aussi un nombre infini de nombres premiers séparés par des nombres plus petits. En unissant leurs efforts et leur intelligence, Tao et une douzaine d’autres se sont jetés sur le problème, réduisant parfois l’écart des nombres premiers toutes les demi-heures. Jusqu’à présent, ils ont réussi à prouver qu’il y a un nombre infini de nombres premiers séparés par, au plus, 246, mais Tao espère encore un jour le ramener à 2.

 » J’ai prouvé beaucoup d’autres choses liées aux nombres premiers, mais pas celle-là « , dit-il. « C’est ce que j’aimerais le plus avoir. »

En 2015, Tao a prouvé une conjecture différente de la théorie des nombres, connue sous le nom de Erdős divergence, qui a commencé comme un puzzle mathématique. Imaginez que quelqu’un vous capture et vous metter au bord d’un précipice. Vous pouvez faire un seul pas en avant ou un seul pas en arrière sans tomber et mourir. Pouvez-vous construire un ensemble infini de marches qui vous protègent ? Oui, si vous alternez les pas en avant et en arrière, mais supposez que votre ravisseur puisse choisir un pas sur trois – ou six – ou un autre pas numéroté pour vous. Y a-t-il une séquence de pas qui vous gardera en sécurité, quelle que soit la séquence choisie par votre ravisseur ?

Erdős pensait que la réponse était non, qu’éventuellement vous seriez obligé de faire deux pas en avant ou en arrière et de tomber. (Il a simplifié cela en imaginant les pas comme une chaîne de nombres composée uniquement de 1 et de -1). Mais il n’a jamais pu le prouver. De 2010 à 2012, Tao et plusieurs autres mathématiciens se sont battus autour d’idées pour résoudre le problème, sans succès. Trois ans plus tard, un mathématicien allemand, Uwe Stroinski, a suggéré sur le blog de Tao que la divergence de Erdős pourrait avoir des similitudes avec quelque chose appelé la conjecture d’Elliott, dans un domaine des mathématiques sans rapport.

 » Au début, je pensais que la connexion n’était que superficielle « , a déclaré Tao au magazine Nature, mais en deux semaines, grâce à l’astuce de Stroinski, il avait résolu la preuve et confirmé ce que Erdős avait cru : que peu importe le nombre de pas que vous êtes autorisé à faire, vous finirez par tomber du précipice. Les collègues de Tao dans le monde entier ont réagi avec stupéfaction.  » Terry Tao vient de larguer une bombe « , a tweeté Derrick Stolee, mathématicien à l’Université d’État de l’Iowa, le jour de l’annonce.

UN NON-MATHÉMATICIEN PEUT DEMANDER si l’un de ces problèmes a des applications dans le monde réel, mais est-ce juste ? Personne ne demande à un poète ce qu’un nouveau poème « fait ». La simplicité, l’élégance et la beauté du poème sont des raisons suffisantes pour son existence. N’est-ce pas la même chose pour une preuve mathématique ?

Tao réfléchit à cette question pendant un moment.  » Je pense que nous avons un peu plus d’obligations que les poètes parce que nous recevons plus de fonds fédéraux « , dit-il enfin, avec un léger sourire. « On ne peut donc pas dire que nous poursuivons quelque chose uniquement pour sa valeur artistique. Ce que nous faisons, c’est de la recherche fondamentale. » En fait, cependant, certains des travaux de Tao ont eu d’importantes applications dans le monde réel, notamment la détection compressée, un processus dans lequel les caméras numériques peuvent utiliser des algorithmes complexes pour créer des images précises en utilisant seulement une quantité infime de données.

En 2004, Emmanuel Candes, un mathématicien du California Institute of Technology, essayait de trouver un moyen de reconstruire les images prises par une machine IRM avec la plus petite quantité de données. Par un heureux hasard, les enfants de Candes et de Tao fréquentaient la même école maternelle, et les deux mathématiciens se parlaient souvent au moment du dépôt des enfants. Candes a expliqué son problème à Tao, dont la réaction, comme l’a dit plus tard le magazine Smithsonian,  » était du Tao d’époque « . Il a d’abord dit à Candes que le problème était insoluble. Puis, quelques minutes plus tard, il a admis que Candes était peut-être sur une piste. Le lendemain, Tao avait résolu le problème lui-même. »

La détection comprimée a depuis été adaptée à un certain nombre d’utilisations, allant de la réalisation de scans d’IRM plus rapides qui permettent à un plus grand nombre de patients d’avoir accès à l’IRM à un coût moindre, à des caméras de téléphone cellulaire qui peuvent produire des photographies vives à partir de relativement peu de pixels, en utilisant les algorithmes que Tao et Candes ont mis au point pour reconstruire le reste de l’image. (Le mathématicien de Stanford David Donoho, qui avait également travaillé sur ce problème, a trouvé une solution similaire de façon indépendante).

Le travail le plus fanatique peut-être de TAO porte sur ce qu’on appelle les équations de Navier-Stokes, qui régissent l’écoulement des fluides, y compris les courants d’air. Dans ce cas, espérons qu’il n’a pas d’application dans le monde réel.

Les scientifiques ne savent pas si les solutions des équations de Navier-Stokes doivent se comporter de façon harmonieuse dans tout le fluide (par exemple, un océan) et exister pour toujours, une condition connue sous le nom de régularité globale. Les équations ont été écrites au 19e siècle, mais elles sont mal comprises et certains croient qu’elles détiennent la clé pour comprendre des phénomènes allant des courants océaniques à la propagation de la pollution atmosphérique. En 2000, le Clay Mathematics Institute, une fondation à but non lucratif basée à Peterborough (N.H.), a offert un prix d’un million de dollars à quiconque pouvait prouver ou réfuter la régularité mondiale, la qualifiant de l’une des sept questions ouvertes les plus importantes en mathématiques.

Tao a abordé le problème sous un angle inhabituel. Il imagine un univers régi par des règles légèrement différentes des nôtres dans lequel l’eau pourrait, dans des conditions extrêmes, se comporter de façon impossible. Il a spéculé que l’eau pourrait même se transformer en ce qu’on pourrait appeler un mini-ordinateur, transférant l’énergie dans des espaces de plus en plus petits jusqu’à ce qu’elle acquière une vitesse si grande qu’elle explose. Jusqu’à présent, Tao n’a pas résolu les équations de Navier-Stokes. Sa conjecture au sujet d’un ordinateur à eau qui explose n’existe que dans un univers alternatif mais, dit-il, il n’y a aucune raison mathématique pour laquelle il ne pourrait pas fonctionner dans le monde réel.

« Si ça marche », dit Fefferman, « ce sera époustouflant ».

CES EXEMPLES NE SONT QUE DES EXEMPLES DE LA SURFACE de la gamme des travaux entrepris par Tao. De jour en jour ou de mois en mois, il se déplace parmi les projets selon son temps, son horaire d’enseignement et ses intérêts.

Pour quelqu’un qui est, à bien des égards, si inhabituel, il est un peu surprenant que Tao mène une vie remarquablement normale. Lui et sa femme, Laura, ingénieur au Jet Propulsion Lab de la NASA, vivent près du campus de l’UCLA avec leurs deux enfants. Tao va au travail en vélo et aime regarder Doctor Who. Il est la chose la plus éloignée d’une prima donna. Après avoir gagné le Prix de la percée en 2015, Tao a dit à Scientific American : « Je n’ai pas l’impression d’en avoir encore fait assez. » Il a utilisé ce prix de 3 millions de dollars pour doter des bourses d’études pour des étudiants diplômés dans les pays en développement et des lycéens américains doués.

Quels que soient ses propres dons, Tao rejette l’idée que les mathématiques sont réservées aux génies. Oui, il a entendu des gens l’appeler le Mozart des mathématiques. C’est un surnom qu’il n’aime pas ; il a vu le film Amadeus de 1984.  » Mozart est dépeint comme un bouffon complet et vraiment ennuyeux, et je ne veux pas être comme ça « , explique Tao. « De plus, il meurt très jeune. »

Humour sournois mis à part, les raisons de Tao vont plus loin. Fait remarquable, le personnage qui l’émeut n’est pas Mozart mais son rival, Antonio Salieri. « Quelqu’un a décrit [Amadeus] comme l’une des meilleures représentations de la médiocrité, de ce que c’est que d’avoir assez de talent pour reconnaître le génie mais pas assez pour en être un « , dit Tao. « Tous les académiciens ont de la sympathie pour le personnage de Salieri. »

Si la musique est venue à Mozart à partir d’une inspiration divine, Tao dit que ses intuitions arrivent, quand elles arrivent, après beaucoup de travail. Il tire ses idées de la lecture, d’autres mathématiciens, de longues promenades. Parfois, une idée lui rappelle un problème similaire qu’il a vu ailleurs et qui pourrait s’avérer utile maintenant. La plupart des chemins ne mènent nulle part, mais il apprend quelque chose même dans les culs de sac.

 » Une fois que vous avez résolu un problème, poursuit-il, vous avez tendance à ne vous souvenir que du court chemin qui vous a mené de A à B. Vous avez oublié toutes les impasses. C’est un peu dommage. Cela donne la fausse impression que les gens qui sont bons en mathématiques ne choisissent que les bonnes étapes. Mais il y a beaucoup d’essais et d’erreurs et des idées vraiment terriblement embarrassantes. Parfois, il y a un moment  » eurêka « , mais c’est plutôt un moment qui vous frappe la tête :  » Bien sûr, pourquoi ai-je été si compliqué ? ”

Le processus de résolution des problèmes, souligne-t-il, est « non linéaire ». En fin de compte, cependant, les mathématiques – l’univers – sont-elles ordonnées ou aléatoires ? Tao se réchauffe à la question.

« Cela dépend de l’endroit où vous regardez », dit-il. « Au niveau extrêmement microscopique, les lois de la nature sont ordonnées. Les particules et les ondes quantiques obéissent à des ondes mécaniques très rigides. Mais à mesure que l’on passe à des objets, des molécules et des êtres vivants plus complexes, cela devient plus chaotique et imprévisible.

« Il y a cet étrange phénomène mathématique appelé universalité. Vous obtenez des systèmes très compliqués, d’atomes ou de personnes, mais si vous le regardez à une échelle assez grande, l’ordre commence à émerger. Einstein a dit un jour que la chose la plus incompréhensible à propos de l’univers est qu’il est compréhensible. Il est très compliqué, mais à certains niveaux, des modèles apparaissent à nouveau.

« Il y a donc de l’ordre – parfois – mais il y a aussi du chaos. »

Via Princeton

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