👏 Un profil de l’étudiante diplômée qui a résolu le problème de longue date du nœud de Conway en une semaine

Il a fallu moins d’une semaine à Lisa Piccirillo pour répondre à une vieille question sur un étrange nœud découvert il y a plus d’un demi-siècle par le légendaire John Conway, rapporte QuantaMagazine.

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« Je ne pense pas qu’elle ait reconnu à quel point ce problème était ancien et célèbre », a déclaré Gordon.

« Ce sont vraiment les formes tridimensionnelles et quadridimensionnelles qui me passionnent, mais l’étude de ces choses est profondément liée à la théorie des nœuds », dit Lisa Piccirillo

La preuve de Piccirillo a été publiée dans Annals of Mathematics en février. Ce document, combiné à ses autres travaux, lui a valu une offre d’emploi à durée indéterminée du Massachusetts Institute of Technology qui débutera le 1er juillet, soit 14 mois seulement après la fin de son doctorat.

La question de la finesse du nœud de Conway était célèbre aussi en raison du temps qu’elle est restée sans réponse. Les nœuds – slice knots – donnent aux mathématiciens un moyen de sonder l’étrange nature de l’espace quadridimensionnel, dans lequel des sphères bidimensionnelles peuvent être nouées, parfois de manière tellement croisée qu’elles ne peuvent pas être lissées. La sliceness est « liée à certaines des questions les plus profondes de la topologie quadridimensionnelle à l’heure actuelle », a déclaré Charles Livingston, professeur émérite à l’université de l’Indiana.

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Sphères magiques

Alors que la plupart d’entre nous pensent qu’un nœud existe dans un morceau de ficelle avec deux extrémités, les mathématiciens pensent que les deux extrémités sont jointes, donc le nœud ne peut pas se défaire. Au cours du siècle dernier, ces boucles nouées ont contribué à éclairer des sujets allant de la physique quantique à la structure de l’ADN, en passant par la topologie de l’espace tridimensionnel.

John Conway en 1990 expliquant comment, au lycée, il a montré pourquoi deux nœuds ne peuvent pas s’annuler.

Mais notre monde est quadridimensionnel si nous incluons le temps comme dimension, il est donc naturel de se demander s’il existe une théorie correspondante des nœuds dans l’espace 4D. Il ne s’agit pas seulement de prendre tous les nœuds que nous avons dans l’espace 3D et de les plonger dans l’espace 4D : Avec quatre dimensions pour se déplacer, toute boucle de nœud peut être dénouée si les brins sont déplacés les uns sur les autres dans la quatrième dimension.

Pour réaliser un objet noué dans l’espace quadridimensionnel, il faut une sphère bidimensionnelle, et non une boucle unidimensionnelle. Tout comme les trois dimensions offrent suffisamment de place pour former des boucles nouées mais pas assez pour les défaire, les quatre dimensions offrent un tel environnement pour les sphères nouées, que les mathématiciens ont construites pour la première fois dans les années 1920.

Il est difficile de visualiser une sphère nouée dans l’espace 4D, mais il est utile de penser d’abord à une sphère ordinaire dans l’espace 3D. Si vous la coupez, vous verrez une boucle non nouée. Mais lorsque vous coupez une sphère nouée dans l’espace 4D, vous pouvez voir une boucle nouée à la place (ou éventuellement une boucle non nouée ou un lien de plusieurs boucles, selon l’endroit où vous coupez). Tout nœud que vous pouvez faire en tranchant une sphère nouée est dit « tranché ». Certains nœuds ne sont pas tranchés, par exemple le nœud à trois croisements appelé trèfle.

Les nœuds tranchés « constituent un pont entre les histoires tridimensionnelles et quadridimensionnelles de la théorie des nœuds », a déclaré M. Greene.

Si cela vous intéresse, lisez l’article complet de Quanta Magazine.

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