Les mathématiques de la distance sociale sont une leçon de géométrie

Comment rouvrir en toute sécurité les bureaux, les écoles et les autres espaces publics tout en maintenant une distance d’un mètre entre les gens se résume à une question que les mathématiciens étudient depuis des siècles, rapporte Quanta Magazine.

Le conditionnement des sphères peut sembler être un sujet que seul un mathématicien peut aimer. Qui d’autre pourrait s’enthousiasmer à l’idée de trouver le moyen le plus efficace d’organiser des cercles dans le plan, ou des sphères dans l’espace ?

Mais en ce moment même, des millions de personnes dans le monde entier réfléchissent à ce problème.

Déterminer comment rouvrir en toute sécurité des bâtiments et des espaces publics dans un contexte de distanciation sociale est en partie un exercice de géométrie : Si chaque personne doit se tenir à un mètre de distance de tous les autres, alors déterminer combien de personnes peuvent s’asseoir dans une salle de classe ou une salle à manger est une question de rangement des cercles non chevauchants dans les plans d’étage.

Bien sûr, il y a beaucoup plus à faire face à la COVID que ce seul problème de géométrie. Mais l’empilement de cercles et de sphères joue un rôle, tout comme il le fait dans la modélisation des structures cristallines en chimie et des espaces de messages abstraits en théorie de l’information. C’est un problème simple qui a occupé certains des plus grands mathématiciens de l’histoire, et des recherches passionnantes sont encore menées aujourd’hui, en particulier dans les dimensions supérieures. Par exemple, les mathématiciens ont récemment prouvé la meilleure façon d’emballer des sphères dans un espace à 8 et 24 dimensions – une technique essentielle pour optimiser les codes correcteurs d’erreurs utilisés dans les téléphones portables ou pour la communication avec les sondes spatiales. Examinons donc quelques-unes des complications surprenantes qui surviennent lorsque nous essayons d’empaqueter l’espace avec notre forme la plus simple.

Si votre travail consiste à emballer des oranges dans une boîte ou à asseoir des élèves en toute sécurité dans un contexte de distanciation sociale, la taille et la forme de votre récipient est un élément crucial du problème. Mais pour la plupart des mathématiciens, la théorie de l’emballage des sphères consiste à remplir tout l’espace. En deux dimensions, cela signifie qu’il faut couvrir le plan avec des cercles de même taille qui ne se chevauchent pas.

Voici un exemple de cercles d’emballage dans le plan. Il vous rappellera peut-être la vue de côté d’une caisse de canettes de soda :

Vous pouvez imaginer ce motif se répétant dans toutes les directions, comme un carrelage de l’avion. Les petits espaces entre les cercles signifient que le plan n’est pas entièrement recouvert, mais c’est normal avec les cercles. Ce qui nous intéresse, c’est plutôt le pourcentage du plan qui est couvert. C’est ce qu’on appelle la « densité de tassement » de l’arrangement.

L’arrangement ci-dessus est appelé un emballage carré, et pour cause : Nous pouvons imaginer les centres des cercles comme des sommets de carrés.

En fait, les carrés eux-mêmes couvrent l’avion.

La symétrie de ce carrelage rend notre travail facile. Comme ces carrés couvrent l’ensemble du plan de manière régulière, le pourcentage du plan couvert par des cercles est le même que le pourcentage de n’importe quel carré couvert par des cercles. Examinons donc de plus près l’un de ces carrés.

Supposons que chaque cercle ait un rayon r. Cela signifie que le carré a une longueur de côté 2r. Chacun des quatre sommets du carré est couvert par un quart de cercle, donc le pourcentage de chaque carré couvert est juste le rapport de la surface d’un cercle complet à la surface d’un carré :

Chaque carré est couvert à environ 78,54% par des cercles, donc, selon notre argument du carrelage, le plan entier est couvert à environ 78,54% par des cercles. C’est la densité du tassement des carrés. (Remarquez comment le rayon r disparaît de notre réponse : C’est logique car quelle que soit la taille du cercle, le carré contiendra toujours quatre quarts de cercle).

Maintenant, si vous avez déjà essayé d’empiler des canettes de soda sur le côté comme ceci, pour ensuite les regarder glisser et se glisser dans les interstices, vous savez qu’il y a une autre façon d’emballer des cercles dans l’avion.

En adoptant une approche similaire à ce que nous avons fait ci-dessus, nous pouvons imaginer les centres des cercles dans cet arrangement comme des sommets d’hexagones réguliers.

Nous appelons cela un emballage hexagonal. Cette disposition semble combler les lacunes plus efficacement que l’emballage carré. Pour le vérifier, comparons leurs densités d’emballage. Tout comme les carrés, les hexagones couvrent le plan. Nous pouvons donc déterminer la densité de tassement de cet arrangement en analysant un seul hexagone.

Quelle proportion de cet hexagone est couverte par des cercles ? Comme l’angle intérieur d’un hexagone régulier est de 120 degrés, il y a un tiers de cercle à chacun des six sommets de l’hexagone. Cela fait deux cercles complets, et celui du milieu en fait trois. Chaque hexagone est donc couvert par trois cercles. Si chaque cercle a un rayon r, c’est une surface totale de 3πr².

Comment cela se compare-t-il à la surface de l’hexagone ? Un hexagone de longueur de côté s est en fait six triangles équilatéraux de longueur de côté s, chacun ayant une surface s23√4. L’hexagone a donc une surface de 6 × s234 = 6s234 Comme la longueur du côté de l’hexagone dans notre emballage est 2r, son aire est :

Nous pouvons donc maintenant calculer le pourcentage de la surface de l’hexagone qui est couverte par des cercles (en divisant la surface de trois cercles par la surface de l’hexagone) :

Chaque hexagone est couvert à environ 90,69% par des cercles, ce qui en fait un emballage beaucoup plus efficace que la disposition carrée. (Notez que le rayon du cercle a de nouveau diminué, comme on pouvait s’y attendre.) En fait, aucun arrangement n’est plus efficace.

Prouver cela n’a pas été facile : des mathématiciens célèbres comme Joseph Louis Lagrange et Carl Friedrich Gauss ont commencé à travailler à la fin du 18e et au début du 19e siècle, mais le problème n’a pas été complètement résolu avant les années 1940, lorsque tous les arrangements possibles – réguliers et irréguliers – ont été rigoureusement traités. Le fait qu’il ait fallu autant de temps pour traiter le problème en deux dimensions, où les choses sont relativement faciles à visualiser, est un avertissement de ce qui va suivre dans les dimensions supérieures.

L’emballage de sphères en trois dimensions est un problème beaucoup plus compliqué, bien qu’il partage certaines caractéristiques avec son parent en deux dimensions. Par exemple, les emballages bidimensionnels que nous avons examinés sont construits à partir d’une seule couche.

Dans l’emballage carré, nous plaçons chaque nouvelle couche directement par-dessus la précédente.

Dans l’emballage hexagonal, chaque nouvelle couche est insérée dans les espaces vides de la précédente.

Nous obtenons des emballages différents selon la façon dont nous assemblons les copies de chaque couche.

En trois dimensions, des emballages fondamentaux différents naissent de l’empilage de couches comme celle-ci.

Il s’agit d’une couche de sphères tassée hexagonalement, comme notre tassement optimal de cercles dans le plan. De même, vous pouvez empiler une deuxième couche par-dessus celle-ci, en l’emboîtant dans les espaces entre les sphères.

Mais la géométrie est un peu plus compliquée en trois dimensions. Dans chaque couche de sphères, la distance entre les espaces adjacents est inférieure à la distance entre les centres des sphères. On ne peut donc pas mettre une sphère dans chaque espace : Elles se chevaucheraient. Cela signifie que les espaces dans les deux couches s’alignent, créant ainsi de petits canaux à travers la garniture.

Lorsque vous placez une troisième couche, vous avez deux options. La première consiste à aligner les espaces et à laisser les canaux ouverts. Voici une vue de côté de l’arrangement :

Pour garder les canaux ouverts, vous placez les sphères de la troisième couche directement au-dessus des sphères de la première, comme indiqué ci-dessus. Cet arrangement de sphères est appelé « hexagonal fermé » (HCP), et vous pouvez voir les passages ouverts lorsque vous regardez à travers le garnissage.

L’autre option pour la troisième couche est de fermer les passages. Vous placez les sphères de la troisième couche directement au-dessus des interstices de la première :

C’est ce que l’on appelle la disposition « cubique à face centrée » (FCC) ou « cubique serrée ». En regardant vers le bas, vous ne pouvez pas voir à travers l’emballage.

Ces deux arrangements similaires mais fondamentalement différents apparaissent en chimie, où ils décrivent les arrangements des atomes dans différents matériaux. (Par exemple, des métaux comme l’argent et l’or possèdent la structure FCC, tandis que des métaux comme le zinc et le titane possèdent la structure HCP). Et en continuant avec l’une ou l’autre de ces structures, vous pouvez remplir l’espace de sphères : dans une structure HCP, toutes les autres couches ont des sphères exactement dans la même position, tandis que dans la structure FCC, toutes les trois couches ont des sphères dans la même position. En fait, vous pouvez créer une infinité de tassements différents en mélangeant les motifs, mais le plus remarquable dans les motifs HCP et FCC est qu’ils produisent tous deux des tassements optimaux ! Non seulement ils ont la même densité de tassement que π32√ ≈ 0,7405, mais ce sont les tassements de sphères les plus denses possibles dans l’espace tridimensionnel. Johannes Kepler, le célèbre mathématicien et astronome, a émis cette hypothèse en 1611, mais il a fallu attendre 1998 pour que le mathématicien Thomas Hales en apporte la preuve complète.

L’espace supplémentaire pour se déplacer en trois dimensions nous donne plus de moyens pour emballer efficacement les sphères. Et l’emballage devient encore plus compliqué à mesure que nous ajoutons des dimensions : Il y a plus de place pour plus de possibilités, et c’est aussi plus difficile à visualiser. De plus, les sphères deviennent plus petites dans les dimensions supérieures !

Prenons un cercle inscrit dans un carré de longueur de côté 1.

Vous pouvez continuer la lecture de l’article et faire les petits exercices de géométrie proposés à la fin sur Quanta Magazine

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