Combien de nombres existent ? La preuve de l’infini rapproche les mathématiques d’une réponse.

Pendant 50 ans, les mathématiciens ont cru que le nombre total de nombres réels était inconnaissable. Une nouvelle preuve suggère le contraire, explique Natalie Wolchover pour Quanta Magazine:

 »

En octobre 2018, David Asperó était en vacances en Italie, regardant par la fenêtre d’une voiture alors que sa petite amie les conduisait à leur bed-and-breakfast, quand cela lui est venu : l’étape manquante de ce qui est maintenant une nouvelle preuve historique sur les tailles de l’infini. « C’était une expérience éclair », a-t-il déclaré.

Asperó, mathématicien à l’université d’East Anglia au Royaume-Uni, a contacté le collaborateur avec lequel il avait longtemps cherché la preuve, Ralf Schindler de l’université de Münster en Allemagne, et lui a décrit son intuition. « C’était complètement incompréhensible pour moi », a déclaré M. Schindler. Mais finalement, le duo a transformé le fantasme en une logique solide.

Leur preuve, publiée en mai dans la revue Annals of Mathematics, réunit deux axiomes rivaux qui ont été présentés comme des fondements concurrents des mathématiques infinies. Asperó et Schindler ont montré que l’un de ces axiomes implique l’autre, ce qui augmente la probabilité que les deux axiomes – et tout ce qu’ils évoquent sur l’infini – soient vrais.

« C’est un résultat fantastique », a déclaré Menachem Magidor, un éminent logicien mathématique de l’Université hébraïque de Jérusalem. « Pour être honnête, j’essayais de l’obtenir moi-même. »

C’est l’une des choses les plus excitantes intellectuellement, absolument dramatiques, qui se soit produite dans l’histoire des mathématiques. Juliette Kennedy

Plus important encore, le résultat renforce les arguments contre l’hypothèse du continuum, une conjecture de 1878 extrêmement influente sur les strates d’infinis. Les deux axiomes qui ont convergé dans la nouvelle preuve indiquent que l’hypothèse du continuum est fausse et qu’une taille supplémentaire d’infini se trouve entre les deux qui, il y a 143 ans, étaient supposés être les premier et deuxième nombres infiniment grands.

« Nous avons maintenant une alternative cohérente à l’hypothèse du continuum », a déclaré Ilijas Farah, mathématicien à l’université York de Toronto.

Ce résultat est une victoire pour le camp des mathématiciens qui sentent dans leurs os que l‘hypothèse du continuum est fausse. « Ce résultat clarifie énormément le tableau », a déclaré Juliette Kennedy, logicien mathématique et philosophe à l’université d’Helsinki.

Mais un autre camp privilégie une vision différente des mathématiques infinies dans laquelle l’hypothèse du continuum tient la route, et la bataille entre ces camps est loin d’être gagnée.

« C’est un moment incroyable », a déclaré Kennedy. « C’est l’une des choses les plus excitantes sur le plan intellectuel, absolument dramatique, qui se soit jamais produite dans l’histoire des mathématiques, là où nous sommes actuellement ».

L’infini des infinis

Oui, l’infini existe en plusieurs tailles. En 1873, le mathématicien allemand Georg Cantor a bouleversé les mathématiques en découvrant que les nombres « réels » qui remplissent la ligne des nombres – la plupart avec des chiffres sans fin, comme 3,14159… – sont plus nombreux que les nombres « naturels » comme 1, 2 et 3, même s’ils sont infiniment nombreux.

Les ensembles infinis de nombres perturbent notre intuition de la taille. Pour vous échauffer, comparez les nombres naturels {1, 2, 3, …} avec les nombres impairs {1, 3, 5, …}. Vous pourriez penser que le premier ensemble est plus grand, puisque seulement la moitié de ses éléments apparaissent dans le second ensemble. Cantor s’est cependant rendu compte que les éléments des deux ensembles peuvent être mis dans une correspondance biunivoque. On peut apparier les premiers éléments de chaque ensemble (1 et 1), puis les deuxièmes éléments (2 et 3), puis les troisièmes (3 et 5), et ainsi de suite à l’infini, couvrant tous les éléments des deux ensembles. En ce sens, les deux ensembles infinis ont la même taille, ou ce que Cantor appelle la « cardinalité« . Il a désigné leur taille par le nombre cardinal ℵ0 (« aleph-zéro »).

Mais Cantor a découvert que les nombres naturels ne peuvent pas être mis en correspondance biunivoque avec le continuum des nombres réels. Par exemple, essayez d’associer 1 à 1,00000… et 2 à 1,00001…, et vous aurez sauté une infinité de nombres réels (comme 1,000000001…). Il est impossible de les compter tous ; leur cardinalité est supérieure à celle des nombres naturels.

Les tailles de l’infini ne s’arrêtent pas là. Cantor a découvert que l’ensemble de puissance de tout ensemble infini – l’ensemble de tous les sous-ensembles de ses éléments – a une cardinalité plus grande que lui. Chaque ensemble de puissance a lui-même un ensemble de puissance, de sorte que les nombres cardinaux forment une tour infiniment haute d’infinis.

Debout au pied de cet imposant édifice, Cantor se concentre sur les deux premiers étages. Il est parvenu à prouver que l’ensemble formé par toutes les différentes façons d’ordonner les nombres naturels (du plus petit au plus grand, par exemple, ou en commençant par tous les nombres impairs) a une cardinalité ℵ1, soit un niveau de plus que les nombres naturels. De plus, chacun de ces « types d’ordre » encode un nombre réel.

Son hypothèse de continuum affirme que c’est exactement la taille du continuum – qu’il y a précisément ℵ1 nombres réels. En d’autres termes, la cardinalité du continuum suit immédiatement ℵ0, la cardinalité des nombres naturels, sans aucune taille d’infini entre les deux.

Mais, à l’immense détresse de Cantor, il n’a pas pu la prouver.

En 1900, le mathématicien David Hilbert a placé l’hypothèse du continu en tête de sa célèbre liste de 23 problèmes mathématiques à résoudre au 20e siècle. Hilbert était fasciné par les mathématiques naissantes de l’infini – « le paradis de Cantor », comme il l’appelait – et l’hypothèse du continuum lui semblait être le fruit le plus facile à cueillir.

Au contraire, des révélations choquantes au siècle dernier ont transformé la question de Cantor en une profonde énigme épistémologique.

Le problème est apparu en 1931, lorsque le logicien d’origine autrichienne Kurt Gödel a découvert que tout ensemble d’axiomes que l’on peut poser comme fondement des mathématiques sera inévitablement incomplet. Il y aura toujours des questions que votre liste de règles de base ne pourra pas résoudre, des faits mathématiques réels qu’elle ne pourra pas prouver.

Comme Gödel l’a immédiatement soupçonné, l’hypothèse du continuum est un tel cas : un problème indépendant des axiomes standard des mathématiques.

Ces axiomes, au nombre de 10, sont connus sous le nom de ZFC (pour « Zermelo-Fraenkel axioms with the axiom of choice« ), et ils sont à la base de presque toutes les mathématiques modernes. Les axiomes décrivent les propriétés fondamentales des collections d’objets, ou ensembles. Étant donné que pratiquement tout ce qui est mathématique peut être construit à partir d’ensembles (l’ensemble vide {} représente 0, par exemple ; {{}} représente 1 ; {{},{{}}} représente 2, et ainsi de suite), les règles des ensembles suffisent pour construire des preuves dans toutes les mathématiques.

En 1940, Gödel a montré que l’on ne pouvait pas utiliser les axiomes ZFC pour réfuter l’hypothèse du continuum. Puis, en 1963, le mathématicien américain Paul Cohen a démontré le contraire : on ne peut pas non plus les utiliser pour la prouver. La preuve de Cohen, ainsi que celle de Gödel, signifie que l’hypothèse du continuum est indépendante des axiomes ZFC ; ils peuvent l’avoir dans les deux cas.

Outre l’hypothèse du continuum, la plupart des autres questions relatives aux ensembles infinis s’avèrent également indépendantes de la CFZ. Cette indépendance est parfois interprétée comme signifiant que ces questions n’ont pas de réponse, mais la plupart des théoriciens des ensembles considèrent qu’il s’agit d’une profonde méprise.

Ils pensent que le continuum a une taille précise ; nous avons simplement besoin de nouveaux outils logiques pour la déterminer. Ces outils prendront la forme de nouveaux axiomes. « Les axiomes ne règlent pas ces problèmes », a déclaré Magidor, « nous devons donc les étendre à un système d’axiomes plus riche. » C’est le ZFC en tant que moyen d’atteindre la vérité mathématique qui fait défaut – et non la vérité elle-même.

Depuis Cohen, les théoriciens des ensembles ont cherché à consolider les fondements des mathématiques infinies en ajoutant au moins un nouvel axiome au ZFC. Cet axiome devrait éclairer la structure des ensembles infinis, engendrer des théorèmes naturels et beaux, éviter les contradictions fatales et, bien sûr, résoudre la question de Cantor.

Gödel, pour sa part, pensait que l’hypothèse du continuum était fausse – qu’il y avait plus de réels que Cantor ne le supposait. Il soupçonnait qu’il y en avait ℵ2. Il prédisait, comme il l’écrivait en 1947, « que le rôle du problème du continu dans la théorie des ensembles sera celui-ci, qu’il conduira finalement à la découverte de nouveaux axiomes qui permettront de réfuter la conjecture de Cantor. »

(…)

Depuis que Gödel et Cohen ont établi l’indépendance de l’hypothèse du continu par rapport à ZFC, les mathématiques infinies ont été une histoire de choix d’aventures dans laquelle les théoriciens des ensembles peuvent forcer le nombre de réels jusqu’à n’importe quel niveau – ℵ35, ou ℵ1000, disons – et en explorer les conséquences. Mais avec le résultat d’Asperó et Schindler qui pointe de manière convaincante vers ℵ2, et celui de Woodin qui défend ℵ1, une dichotomie claire s’est établie, et un vainqueur direct semble nouvellement possible. La plupart des théoriciens des ensembles n’aimeraient rien de plus que de sortir du multivers mathématique et de se rassembler derrière une seule image du paradis de Cantor, une image suffisamment belle pour être considérée comme vraie.

Kennedy, pour sa part, pense que nous pourrons bientôt revenir à ce « monde prélapsaire« . « Hilbert, lorsqu’il a prononcé son discours, a dit que la dignité humaine dépendait de notre capacité à décider des choses en mathématiques par oui ou par non », a-t-elle déclaré. « Il s’agissait de racheter l’humanité, de savoir si les mathématiques sont ce que nous avons toujours pensé qu’elles étaient : établir la vérité. Pas seulement cette vérité, cette vérité. Pas seulement des possibilités. Non. Le continuum est de cette taille, point final. »

 

 

 

Laisser un commentaire

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur comment les données de vos commentaires sont utilisées.